设A＝ααT＋ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT是β的转置．(1)证明秩R(A)≤2；(2)若α，β线性相关，则R(A)﹤2．

admin2020-06-05 42

问题设A＝ααT＋ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT是β的转置．(1)证明秩R(A)≤2；(2)若α，β线性相关，则R(A)﹤2．

选项

答案(1)因为α，β均为列向量，所以αα^T，ββ^T是3阶矩阵，且有R(αα^T)≤R(α)≤1，R(ββ^T)≤R(β)≤1．那么，R(A)＝R(αα^T＋ββ^T)≤R(αα^T)＋R(ββ^T)≤2． (2)若α，β线性相关，不妨设β＝kα，那么R(A)＝R[αα^T＋(kα)(kα)^T]＝R[(1＋k²)αα^T]＝R(αα^T)≤1﹤2

解析

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考研数学一

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