2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明： 存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明： 存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

admin2019-12-24  98
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：
存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。
选项
答案在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得 f(c)－f(0)＝cf’(ξ) ① f(1)－f(c)＝(1－c)f’(η) ② 由①·f’(η)＋②·f’(ξ)，结合f(0)＝f(1)＝0可得 [f’(η)－f’(ξ)]f(c)＝f’(ξ)f’(η)， 再由结论f(c)＝M／n可知 [f’(η)－f’(ξ)]M／n＝f’(ξ)f’(η)， 且1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/xmD4777K
0

考研数学三

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)