2. 考研
  3. 设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证： ∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．

设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证： ∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．

admin2019-01-25  59
问题 设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：
∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．
选项
答案考察 ∫0x+1φ(t)dt-∫0xφ(t)dt=∫xx+1φ(t)dt=∫01φ(t)dt=0 (因为(∫xx+1φ(t)dt)’=φ(x+1)一φ(x)=0，∫xx+1φ(t)dt为常数) 因此∫0xφ(t)dt以1为周期． 因为∫0xφ(t)dt在(一∞，+∞)连续 =>∫0xφ(t)dt在[0，1]有界，又它以1为周期=>∫0xφ(t)dt在(一∞，+∞)有界．
解析
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考研数学一

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