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设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫01(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证: ∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界.
设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫01(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证: ∫01φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界.
admin
2019-01-25
60
问题
设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫
0
1
(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证:
∫
0
1
φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界.
选项
答案
考察 ∫
0
x+1
φ(t)dt-∫
0
x
φ(t)dt=∫
x
x+1
φ(t)dt=∫
0
1
φ(t)dt=0 (因为(∫
x
x+1
φ(t)dt)’=φ(x+1)一φ(x)=0,∫
x
x+1
φ(t)dt为常数) 因此∫
0
x
φ(t)dt以1为周期. 因为∫
0
x
φ(t)dt在(一∞,+∞)连续 =>∫
0
x
φ(t)dt在[0,1]有界,又它以1为周期=>∫
0
x
φ(t)dt在(一∞,+∞)有界.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/xlM4777K
0
考研数学一
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