2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=一2，f’(0)=1，f’’(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．

设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=一2，f’(0)=1，f’’(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．

admin2017-08-31  45
问题 设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=一2，f’(0)=1，f’’(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．
选项
答案因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1． 当x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为[*][f(0)+x]=+∞，所以[*]f(x)=+∞． 由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=一2＜0，[*]f(x)=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．
解析
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考研数学一

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