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  3. 设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.

设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.

admin2018-06-27  80
问题 设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.
选项
答案由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f(n)(0)xn+[*]xn+1． 若f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式[*] f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f(n)(0)xn是n次多项式． 反之，若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然 f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0．
解析
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考研数学二

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