设二次型f(χ1，χ2，χ3，χ4)＝χT>Aχ的正惯性指数为p＝1，又矩阵A满足A2－2A＝3E，求此二次型的规范形并说明理由．

admin2018-06-12 633

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃，χ₄)＝χ^T>Aχ的正惯性指数为p＝1，又矩阵A满足A²－2A＝3E，求此二次型的规范形并说明理由．

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα＝λα，α≠0．那么(A²－2A)α＝3α，即有(λ³－λ－3)α＝0，即有λ²－2λ－3＝0，故λ＝3或－1．又因正惯性指数P＝1，故f的特征值必为3，－1，－1，－1．所以，二次型的规范形是y₁²－y₂²－y₃²－y₄²．

解析

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