设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

admin2018-09-20 83

问题设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y’(X-x)．它与x轴的交点为[*]．由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0(x≥0)，于是 [*] 又S₂=∫₀^xy(t)dt，由条件2S₁一S₂=1，知 [*] ①式两边对x求导并化简得yy"=(y’)²．令p=y’，则方程可化为 [*] 注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线的方程是y=e^x．

解析

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考研数学三

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设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

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