2. 考研
  3. 已如A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题： ①A，B等价； ②A，B相似； ③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同； ④行列式|A一2E|=|2E一A|中，命题成立的有( )．

已如A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题： ①A，B等价； ②A，B相似； ③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同； ④行列式|A一2E|=|2E一A|中，命题成立的有( )．

admin2016-12-16  105
问题 已如A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题：
①A，B等价；
②A，B相似；
③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同；
④行列式|A一2E|=|2E一A|中，命题成立的有(     )．
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案C
解析 要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式．
利用这些可检验上述诸命题．
由题设知A，B的秩相同，r(A)=r(B)=3，因此A，B等价；若A，B为实对称矩阵，则其正负惯性指数相同，从而A，B合同；矩阵A一2E与2E一A均有一个特征值为零，故行列式
|A一2E|=|2E一A|=0．
但由A，B有相同的特征值，推导不出A，B相似，故仅(C)入选．
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考研数学三

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