设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=－f’(ξ)．

admin2019-02-20 70

问题设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足

求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=－f’(ξ)．

选项

答案存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=－f’(ξ) [*] 现引进辅助函数F(x)=e²f(x)，它在[a，b]可导，若能在[a，b]的某区间上用罗尔定理即可得证．由已知条件及积分中值定理即知至少存在一点[*]使得 [*] 所以在区间[c，b]上有F(c)=F(b)．由罗尔定理即知存在ξ∈(c，b)，使得 Fξ)=e^ξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0，又e^ξ≠0，所以有f(ξ)=－f’(ξ)．

解析

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