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设A=E+ααT,其中α=(a1,a2,α3)T,且αTα=2,求A的特征值和特征向量.
设A=E+ααT,其中α=(a1,a2,α3)T,且αTα=2,求A的特征值和特征向量.
admin
2021-02-25
29
问题
设A=E+αα
T
,其中α=(a
1
,a
2
,α
3
)
T
,且α
T
α=2,求A的特征值和特征向量.
选项
答案
由Aα=(E+αα
T
)α=α+αα
T
α=3α,于是得A的特征值λ
1
=3,其对应的特征向量为k
1
α,k
1
≠0为常数. 又由A=E+αα
T
,得A-E=αα
T
,两边取行列式|A-E|=|αα
T
|=0,由此知λ
2
=1是A的另一个特征值. 再由矩阵A的特征值的性质,trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+λ
3
,从而λ
3
=trA-4=3+α
T
α-4=1. 由于λ
2
=λ
3
=1,对应的特征矩阵为A-E,由题设条件α=(a
1
,a
2
,a
3
)
T
≠0,不妨设a
1
≠0,则 [*] 由此得方程组(A-E)x=0的同解方程组为 a
1
x
1
=-a
2
x
2
-a
3
x
3
, 解得λ
2
=λ
3
=1对应的特征向量为x=k
2
(-a
2
,a
1
,0)
T
+k
3
(-a
3
,0,a
1
)
T
,其中k
2
,k
3
是不同时为零的任意常数.
解析
本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法.可用定义Ax=λx,特征方程|λE-A|=0,trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
,求A的特征值与特征向量.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/wp84777K
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考研数学二
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