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  3. 设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2018-07-31  52
问题 设向量组α1，…，αr线性无关，又
    β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr
    β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr
    ……
    βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr
记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．
选项
答案不妨设αj及βj均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β1 β2 … βr]=[α1 α2 … αr]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β1 β2 … βr]及P=[α1 α2 … αr]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若X满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r—r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β1，…，βr线性无关→r[β1 β2 … βr]=r→r(A)=r→｜A｜≠0．
解析
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考研数学一

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