(93年)设二次型f＝χ12＋χ22＋χ32＋2αχ1χ2＋2βχ2χ3＋2χ1χ3经正交交换X＝PY化成f＝y22＋2y32，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T和Y＝(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β．

admin2017-05-26 108

问题 (93年)设二次型f＝χ₁²＋χ₂²＋χ₃²＋2αχ₁χ₂＋2βχ₂χ₃＋2χ₁χ₃经正交交换X＝PY化成f＝y₂²＋2y₃²，其中X＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T和Y＝(y₁，y₂，y₃)^T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β．

选项

答案变换前后二次型的矩阵分别为 [*] 由题设条件有 P^-1AP＝P^TAP＝B 因此｜λE－A｜＝｜λE－B｜即[*] 得λ³－3λ²＋(2－α²－β²)λ＋(α－β)²＝λ³－3λ²＋2λ 解得α＝β＝0为所求常数．

解析

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考研数学三

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