(1999年试题，十一)设A为m阶实对称矩阵且正定，曰为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是曰的秩rB=m

admin2021-01-15 14

问题 (1999年试题，十一)设A为m阶实对称矩阵且正定，曰为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是曰的秩rB=m

选项

答案首先必须明确正定矩阵的定义和性质．必要性设B^TAB是正定矩阵，则对于任意不为零向量的n维实列向量x，有x^T(B^TAB)x>0即(Bx)^TA(Bx)>0由题设已知A是正定对称阵，从而Bx也不为零向量，即当x≠0时，Bx≠0，因而Bx=0只有零解，所以rB=n．充分性即设rB=n，显然有(B^TAB)^T=B^TAB，即B^TAB对称，且Bx=0只有零解，即任给不为零向量的n维实列向量x，必有Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)>0，即x^T(B^TAB)x>0，由正定矩阵的定义知，B^TAB就是正定矩阵．证毕．

解析

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考研数学一

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