设f(x)为[0,1]上的单调增加的连续函数，证明

admin2022-10-08 91

问题设f(x)为[0,1]上的单调增加的连续函数，证明

选项

答案I=∫₀¹xf³(x)dx∫₀¹f²(x)dx－∫₀¹f³(x)dx∫₀¹xf²(x)dx =[*]xf³(x)f²(y)dxdy－[*]f³(x)yf²(y)dxdy =[*]f³(x)f²(y)(x－y)dxdy ① 同理可得 I=[*]f²(x)f³(y)(y－x)dxdy ② 将①②相加，并注意到假设 (x－y)[f(x)－f(y)]≥0 故2I=[*](x－y)f²(x)f²(y)[f(x)－f(y)]dxdy≥0 即I≥0由此可推知命题成立。

解析

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