设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

admin2019-05-14 61

问题设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+

x²(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

选项

答案由题设，当x≠0时， [*] 据此并由f(x)在点x=处的连续性，得 [*] 又由已知条件 [*] 即C=4－a．因此， [*] 旋转体的体积为 [*] 得驻点a₀=－5．又 [*] 故当a=－5时，旋转体体积最小．

解析

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考研数学一

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