2. 考研
  3. 设F(x)=∫01(1一t)ln(1+xt)dt(x＞一1)，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并讨论F’(x)在(一1，+∞)上的连续性．

设F(x)=∫01(1一t)ln(1+xt)dt(x＞一1)，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并讨论F’(x)在(一1，+∞)上的连续性．

admin2018-05-23  62
问题 设F(x)=∫01(1一t)ln(1+xt)dt(x＞一1)，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并讨论F’(x)在(一1，+∞)上的连续性．
选项
答案先将F(x)转化为变限积分，令s=xt，则 [*] 下面讨论F’(x)的连续性．因ln(1+s)，sln(1+s)当s＞一1时连续，于是由②式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当x＞一1且x≠0时F’(x)连续．余下只需再求F’(0)并考察F’(x)在点x=0处的连续性． 注意F(0)=0，且 [*] 从而F(x)在点x=0处连续．又 [*] 这就证明了F’(x)在(一1，+∞)上连续．
解析
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考研数学三

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