设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

admin2017-05-31 10

问题设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，

x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

选项

答案要证f(x)＞0 <=> e^xf(x)＞0 (x＞0)．由e^xf(x)在[0，+∞)可导且[e^xf(x)]’=e^x[f’(x)+f(x)]＞0 (x＞0) => e^xf(x)在[0，+∞)单调上升 =>e^xf(x)＞e^xf(x)｜_x=0=0 (x＞0) => f(x)＞0 (x＞0)．

解析

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考研数学二

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