2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为 (1)求矩阵A． (2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-09-25  109
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为
(1)求矩阵A．
(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(1)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，所以A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=O． 由于Q的第3列为[*]．所以A对应于λ3=0的特征向量为α3=[*] 由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于λ1=λ2=1的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，则αTα3=0，即[*] 取α1=(0，1，0)T，α2=(一1，0，1)T，则α1，α2与α3是正交的，即为对应于λ1=λ2=1的特征向量．由于α1，α2是相互正交的，所以只需单位化： [*] (2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，则A+E的特征值全大于零，故A+E是正定矩阵．
解析
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考研数学三

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