(09年)若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1．1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内

admin2021-01-19 73

问题 (09年)若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1．1)处的曲率圆为x²+y²=2，则函数f(x)在区间(1，2)内

选项 A、有极值点，无零点．
B、无极值点，有零点．
C、有极值点，有零点．
D、无极值点，无零点．

答案C

解析由题设条件知曲线y=f(x)是凸的．且f”(x)＜0，曲率半径为

而y’(1)=f’(1)=一1．则y”(1)=f"(1)=一2．
由于f"(x)＜0．则f’(x)在[1,2]上单调减．从而f’(x)≤f’(1)＜0,从而函数f(x)在[1．2]上单调减．故该函数没有极值点．
又f(1)=1＞0，f(2)一f(1)=f’(ξ)(2一1)=f(ξ)＜-1．
则f(2)＜-1+f(1)=0，即f(2)＜0，所以．函数f(x)在(1，2)内有唯一零点，故应选(B)．

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