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设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则( )．
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则( )．
admin
2020-06-05
32
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，但不能由向量组A：α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，记向量组B：α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β，则( )．
选项
A、α
m
不能由向量组A线性表示，也不能由向量组B线性表示
B、α
m
不能由向量组A线性表示，但可由向量组B线性表示
C、α
m
可由向量组A线性表示，也可由向量组B线性表示
D、α
m
可由向量组A线性表示，但不可由向量组B线性表示
答案
B
解析
由题设可知，存在常数k
1
，k
2
，…，k
m
，使得
β＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
m
α
m
且k
m
≠0．否则，若k
m
＝0，上式表明β可由向量组A线性表示，这与已知条件矛盾．于是上式两边同时除以k
m
解出α
m
，得
α
m
＝
这表明向量α
m
可由向量组B线性表示，因此排除(A)，(D)．
对于选项(C)，若α
m
可由向量组A线性表示，即有
α
m
＝λ
1
α
1
＋λ
2
α
2
＋…＋λ
m-1
α
m-1
将此式带入β＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
m
α
m
可知，β也可由向量组A线性表示，而这与已知条件矛盾．因此α
m
不能由A线性表示，(C)被排除，故(B)入选．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/tAv4777K
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考研数学一
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