(2010年试题，23)设1707正交矩阵Q使QTTAQ为对角阵，若Q的第一列为．求a,Q.

admin2013-12-18 95

问题 (2010年试题，23)设

1707正交矩阵Q使Q^TTAQ为对角阵，若Q的第一列为

．求a,Q.

选项

答案因为正交矩阵Q可使得矩阵A．对角化，所以正交矩阵Q的每一列均为矩阵A的特征向量．又正交矩阵Q的第一列为[*]故其为矩阵A的一个特征向量，设对应的特征值为λ₁，则有[*]由此解得a=一1，λ₁=2，则A=[*]令[*]则可得(λ+4)(λ一2)(λ一5)=0，即矩阵A的3个特征值为λ₁=2，λ₂=5，λ₃=一4，对应于特征值λ₁=2的特征向量为[*]由(λ₂E—A)x=0，即[*]对系数矩阵作行变换得[*]，则对应于A2=5的特征向量为ξ₂=(1，一1，1)^T．同理，由(λ₃E—A)x=0，即[*]，对系数矩阵作行变换：[*]的特征向量为ξ₃=(一1，0，1)^T因为矩阵A为实对称矩阵，且ξ₁，ξ₂，ξ₃，是对应于不同特征值的特征向量，所以ξ₁，ξ₂，ξ₃相互正交，ξ₁已是单位向量，只需对ξ₂，ξ₃单位化即可．[*]取Q=(ξ₁，η₂，η₃)[*]

解析

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考研数学二

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