2. 考研
  3. (13年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ2＋aχ2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y

(13年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ2＋aχ2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y

admin2021-01-25  109
问题 (13年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ2＋aχ2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记

    (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT．
    (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
选项
答案(Ⅰ)记χ＝[*]，由于 f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ1＋a2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2 ＝2[(χ1，χ2，χ3)[*](a1，a2，a3)[*]]＋[(χ1，χ2，χ3)[*](b1，b2，b3)[*]] ＝2χT(ααT)χ＋χT(ββT)χ ＝χT(2ααT＋ββT)χT， 又2ααT＋ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)记矩阵A＝2ααT＋ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα＝1，βTβ＝1，αTβ＝βTα＝0，所以 Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α， Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝β， 于是λ1＝2，λ2＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2ααT＋ββT)≤r(2ααT)＋r(ββT)≤2， 所以λ3＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
解析
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考研数学三

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