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设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数。 (I)求f(x1，x2，x3)=0的解； (Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数。 (I)求f(x1，x2，x3)=0的解； (Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
admin
2018-03-26
125
问题
设实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
一x
2
+x
3
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
1
+ax
3
)
2
，其中a是参数。
(I)求f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解；
(Ⅱ)求f(x
1
，x
2
，x
3
)的规范形．
选项
答案
(I)由f(x
1
，x
2
，x
3
)=0得 [*] 当a≠2时，方程组有唯一解：x
1
=x
2
=x
3
=0． 当a=2时，方程组有无穷解：令x
1
=1，可得解[*]．k∈R． (Ⅱ)当a≠2时，做非退化的线性变换[*] 此时f(x
1
，x
2
，x
3
)的规范形为f=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
． 当a=2时，做非退化的线性变换[*] 则 f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
+(y
1
+y
2
)
2
=2y
1
2
+2y
2
2
+2y
1
y
2
[*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)的规范形为f=z
1
2
+z
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/swX4777K
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考研数学三
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