设A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)t且有ξTξ=1．则 (1)A是对称阵； (2)A2是单位阵； (3)A是正交阵； (4)A是可逆阵．上述结论中，正确的个数是( )

admin2016-05-31 52

问题设A=E-2ξξ^T，其中ξ=(x₁，x₂，…，x_n)^t且有ξ^Tξ=1．则
(1)A是对称阵； (2)A²是单位阵；
(3)A是正交阵； (4)A是可逆阵．
上述结论中，正确的个数是( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 A^T=(E-2ξξ^T)^T=E^T-(2ξξ^T)^T=E-2ξξ^T=A，(1)成立．
A²=(E-2ξξ^T)(E-2ξξ^T)=E-4ξξ^T+4ξξ^Tξξ^T=E-4ξξ^T+4ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E，(2)成立．
由(1)、(2)，得A²=AA^T=E，故A是正交阵，(3)成立．
由(3)知正交阵是可逆阵，且A^-1=A^T，(4)成立．
故应选D．

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