设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2016-03-26 90

问题设函数f(x)在[0，π]上连续，且

试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂，使f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．

选项

答案[*]知．存在ξ₁∈(0，π)，使f(ξ₁)=0．因若不然，则在(0，π)内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均与[*]矛盾．若在(0，π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ₁，则由[*]推知f(x)在(0，ξ₁)内与(ξ₁，π)内异号，不妨设在(0，ξ₁)内f(x)＞0，在(ξ₁，π)内f(x)＜0，于是再由[*]及cosx在[0，π]上的单调性知：[*]得出矛盾．从而推知，在(0，π)内除ξ₁外．f(x)=0至少还有另一实根ξ₂，故知存在ξ₁，ξ₂∈(0，π)，ξ₁≠ξ₂，使f(ξ₁)=f(ξ₂)

解析

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考研数学三

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