设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

admin2017-10-19 66

问题设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A²=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

选项

答案由秩(A)=r＜n，知方程组Ax一0的基础解系含n一r个向量：ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r。因此，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，就是A的对应于特征值0的n一r个线性无关的特征向量。设A按列分块为A=[α₁α₂…α_n]，则题设条件AA=2A就是[Aα₁Aα₂…Aα_n]=[2α₁2α₂…2α_n]，由Aα_j=2α_j，知A的列向量组的极大无关组α_j1，α_j2，…，α_jr，就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量。再由特征值的性质，知ξ₁，…，ξ_n-r，α_j1，α_j2，…，α_jr，就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵。

解析

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考研数学三

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设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵。

考研数学三

=__________

设某种零件的长度L～N(18，4)，从一大批这种零件中随机取出10件，求这10件中长度在16～22之间的零件数X的概率分布、数学期望和方差．

求y=(1一t)arctantdt的极值．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中(1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．

设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2x)f(t)dt．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n一1，则方程组AX=0的通解为

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22一2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

若[x]表示不超过x的最大整数，则积分∫04[x]dx的值为()

设函数f(y)的反函数f－1(x)及fˊ[f－1(x)]与fˊˊ[f－1(x)]都存在，且f－1[f－1(x)]≠0．证明：

设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，它们的下列部分组中，是最大无关组的有哪几个?(1)α1，α2，α3．(2)α1，α2，α4．

下列各项中，属于现代金融体系基本要素的有()。

来源于动物成熟雄体香囊中的干燥分泌物的药材是

A．甘油(开塞露)B．聚乙二醇4000C．乳果糖D．酚酞E．硫酸镁属于润滑性泻药的是()

我国现有的外汇贷款币种有()。

冲击疗法就是通过直接使病人处于他所恐惧的情境之中，激发其最强烈的情绪反应，以收物极必反之效，从而消除恐惧。根据上述定义，以下属于冲击疗法的是()。

A、 B、 C、 D、 C

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设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2x)f(t)dt．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

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