一容器的内侧是由曲线y=x2绕y轴旋转而成的曲面，其容积为72πm3，其中盛满水，若将容器中的水从容器的顶部抽出64πm3，至少需做多少功? (长度单位：m，重力加速度为g m／s2，水的密度为103 kg／m3。)

admin2018-05-25 90

问题一容器的内侧是由曲线y=x²绕y轴旋转而成的曲面，其容积为72πm³，其中盛满水，若将容器中的水从容器的顶部抽出64πm³，至少需做多少功?
(长度单位：m，重力加速度为g m／s²，水的密度为10³ kg／m³。)

选项

答案建立如图3—12所示的直角坐标系，当容器中的水深为h时，先求出容器中水的体积V和其深度h之间的关系，其体积微元为 dV=πx²dy=πydy，体积为 V=π∫₀^hydy=[*]h²。当V=72π时，72π=[*]h²，则h=12。当V=72π一64π=8π时，8π=[*]h²，则h=4。 [*] 根据功的计算公式，功的微元为 dW=10³g(12一y)πydy W=10³πg∫₄¹²y(12一y)dy =[*]πg(J)，即所求的功为[*]πgJ。

解析

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考研数学一

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一容器的内侧是由曲线y=x2绕y轴旋转而成的曲面，其容积为72πm3，其中盛满水，若将容器中的水从容器的顶部抽出64πm3，至少需做多少功? (长度单位：m，重力加速度为g m／s2，水的密度为103 kg／m3。)

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