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  3. 设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( )

设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( )

admin2016-04-14  40
问题 设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是(     )
选项 A、ad—bc＜0．
B、b，c同号．
C、b=c．
D、b，c异号．
答案D
解析 对(C)，当b=c时，A是实对称矩阵A～A，故(C)是充分条件．
由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．

对(A)，当ad一bc＜0时，由(*)，(a+d)2一4(ad一bc)＞0．
A有两个不同的特征值A～A．故(A)是充分条件．
对(B)，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a一d)2+4bc＞0．
A有两个不同的特征值A～A．故(B)是充分条件．
对(D)，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a一d)2+4bc=0时，会有二重特征值．例：

λ1=λ2=0，但r(0E—A)=1，线性无关的特征向量只有一个，AA，故(D)不是充分条件，故应选(D)．
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