2. 考研
  3. (01年)设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0， (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[一a．a]上至少存在一点η，使 a3f”(η)=3∫-aaf(x)dx

(01年)设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0， (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[一a．a]上至少存在一点η，使 a3f”(η)=3∫-aaf(x)dx

admin2018-07-27  84
问题 (01年)设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[一a．a]上至少存在一点η，使
    a3f”(η)=3∫-aaf(x)dx
选项
答案(1)对任意的x∈[一a，a] [*] 其中ξ在0与x之间． (2)∫-aaf(x)dx=∫-aaf’(0)xdx+[*] 因为f"(x)在[一a，a]上连续，故对任意的x∈[-a,a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[一a，a]上的最大，最小值，所以 [*] 因而由f”(x)的连续性知，至少存在一点η∈[一a，a]．使 [*] 即 a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx
解析
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考研数学二

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