2. 考研
  3. 求下列二重积分： (Ⅰ)I＝，其中D为正方形域：0≤χ≤1，0≤y≤1； (Ⅱ)I＝｜3χ＋4y｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤1； (Ⅲ)I＝ydχdy，其中D由直线χ＝－2，y＝0，y＝2及曲线χ＝－所围成．

求下列二重积分： (Ⅰ)I＝，其中D为正方形域：0≤χ≤1，0≤y≤1； (Ⅱ)I＝｜3χ＋4y｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤1； (Ⅲ)I＝ydχdy，其中D由直线χ＝－2，y＝0，y＝2及曲线χ＝－所围成．

admin2017-04-11  83
问题 求下列二重积分：
    (Ⅰ)I＝，其中D为正方形域：0≤χ≤1，0≤y≤1；
    (Ⅱ)I＝｜3χ＋4y｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤1；
    (Ⅲ)I＝ydχdy，其中D由直线χ＝－2，y＝0，y＝2及曲线χ＝－所围成．
选项
答案(Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线χ＝1及y＝1的极坐标方程分别为 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质． 作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，则D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．从而 [*] 其中sinθ0＝[*]，cosθ0＝[*]．由周期函数的积分性质，令t＝θ＋θ0就有 [*] (Ⅲ)D的图形如图8．27所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D1，则计算D1上的积分自然选用极坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先χ后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y＝1对称，选择平移变换则最为方便． [*] 作平移变换u＝χ，v＝y－1，注意曲线χ＝－[*]， 即χ2(y－1)2＝1，χ≤0，则D变成D′． D′由u＝－2，v＝－1，v＝1，u2＋v2＝1(u≤0)围成，则 [*]
解析
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考研数学二

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