设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

admin2020-01-15 65

问题设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，

－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段

的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为

－1．
(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程；
(Ⅱ)导出y(x)满足的微分方程和初始条件；
(Ⅲ)求曲线Γ的表达式．

选项

答案(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程 Y－y(x)=y’(x)(X－x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距 [*] 这是y(x)满足的积分、微分方程． (Ⅱ)两边对x求导，就可转化为二阶微分方程： [*] 又由条件及①式中令x=0得 y(0)=[*]－1， y’(0)=1．因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题 [*] 问题①与②是等价的． (Ⅲ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得 [*]

解析

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考研数学一

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设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

考研数学一

已知A，B均是2×4矩阵，Ax＝0有基础解系ξ1＝(1，3，0，2)T，ξ2＝(1，2，－1，3)T；Bx＝0有基础解系η1＝(1，1，2，1)T，η2＝(0，－3，1，＋1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求参数a的值，使Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，并

设x与y均大于0且x≠y．证明：．

函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_．

设常数a＞0，积分．讨论I1与I2谁大谁小，并给出推导过程．

微分方程型满足初始条件的特解为y＝__________．

设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3·设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).

下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT．证明A是负惯性指数为0；

将积分区域D对应的二重积分I＝f(x，y)dxdy按两种次序化为二次积分：D是由抛物线y＝x2及y＝4－x2所围的区域．

A．伤神B．耗气C．耗血D．伤精劳力过度则

该患者的发作类型是下列检查中除哪项外应尽快完善

病例，28岁，初孕，妊娠36周，近一周感乏力食欲差，作ALT256U诊断为急性病毒性肝炎，应给予高度重视及积极治疗，是因为

城市饮用水卫生标准规定

A．川椒、干姜、人参、饴糖B．附子、干姜、甘草C．人参、干姜、白术、甘草D．桂枝、当归、芍药、甘草、饴糖E．以上都不是大建中汤的药物组成是()

如用电子胎心监护测胎心率，下列指标提示胎儿缺氧的是

下面是有关要约对要约人的拘束力的表述，其中正确的表述是()。

甲公司是一家上市公司。下列股票交易行为中，属于证券法律制度所禁止的有()。

比较下列积分值的大小：

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设x与y均大于0且x≠y．证明：．

函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝________＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_________．

设常数a＞0，积分．讨论I1与I2谁大谁小，并给出推导过程．

微分方程型满足初始条件的特解为y＝__________．

设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3·设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．

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将积分区域D对应的二重积分I＝f(x，y)dxdy按两种次序化为二次积分：D是由抛物线y＝x2及y＝4－x2所围的区域．

A．伤神B．耗气C．耗血D．伤精劳力过度则

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A．川椒、干姜、人参、饴糖B．附子、干姜、甘草C．人参、干姜、白术、甘草D．桂枝、当归、芍药、甘草、饴糖E．以上都不是大建中汤的药物组成是()

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设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_．