设，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足AX－XA＝0的所有X； (Ⅱ)方程AX－XA＝B是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

admin2019-01-24 43

问题设

，X是2阶方阵．
(Ⅰ)求满足AX－XA＝0的所有X；
(Ⅱ)方程AX－XA＝B是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

选项

答案(Ⅰ)用待定元素法求X设X＝[*]，代入方程，则 [*] 各元素为零，得齐次线性方程组[*]记作Cx＝0．对系数矩阵C作初等行变换，有 [*] 解得方程组基础解系为α₁＝(2，2，1，0)^T，α₂＝(1，0，0，1)^T，所以方程组的通解为[*]，其中k₁，k₂是任意常数．故[*]，其中k₁，k₂是任意常数． (Ⅱ)设[*] 得非齐次线性方程组[*]记作Dx＝b，对方程组的增广矩阵作初等行变换，得 [*] 由上可知，r(D)＝2≠[*]＝3，故方程组无解．所以所求方程无解．

解析

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考研数学一

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设，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足AX－XA＝0的所有X； (Ⅱ)方程AX－XA＝B是否有解．若有解，求满足方程的所有X，若无解，说明理由．

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