2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．

admin2017-08-31  79
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．
选项
答案由[*]=0，得F(1)=一1， 又[*]，所以f’(1)=0． 由积分中值定理得[*]， 由罗尔定理，存在x0∈(c，2)[*](1，2)，使得f’(x0)=0． 令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)[*](0，2)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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