设二次型f(x1，x2)=x12-4x1x2+4x22经正交变换化为二次型g(y1，y2)=ay12+4y1y2+by22，其中a≥b．求正交矩阵Q．

admin2022-09-08 12

问题设二次型f(x₁，x₂)=x₁²-4x₁x₂+4x₂²经正交变换

化为二次型g(y₁，y₂)=ay₁²+4y₁y₂+by₂²，其中a≥b．
求正交矩阵Q．

选项

答案∵[*]=λ²-5λ． ∴A的特征值为0，5．矩阵A的属于特征值λ=5的单位特征向量α₁=[*]，矩阵A的属于特征值λ=0的单位特征向量α₂=[*]。令Q₁=(α₁，α₂)=[*]，则Q₁为正交矩阵，且Q₁^TAQ₁=[*]。 ∵A～B，∴B的特征值也为0，5，矩阵B的属于特征值λ=5的单位特征向量β₁=[*]，矩阵B的属于特征值λ=0的单位特征向量β₂=[*]。令Q₂=(β₁，β₂)=[*]，则Q₂为正交矩阵，且Q₂^TBQ₂=[*]。由于Q₁^TAQ₁=Q₂^T BQ₂=[*]，所以(Q₁Q₂^T)^TAQ₁Q₂^T=B，故Q=Q₁Q₂^T [*]

解析

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考研数学一

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