设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p1＝(﹣1，2，﹣1)T，p2＝(0，﹣1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得QTAQ＝A．

admin2020-06-05 68

问题设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p₁＝(﹣1，2，﹣1)^T，p₂＝(0，﹣1，1)^T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得Q^TAQ＝A．

选项

答案(1)因为p₁，p₁是线性方程组Ax＝0的两个解，所以p₁，p₂是A的对应于特征值λ₁＝λ₂＝0的特征向量．又因为3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，所以A有一个特征值λ₃＝3，其对应的特征向量p₃＝(1，1，1)^T．故而矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝0，λ₃＝3．同时λ₁＝λ₂＝0对应的特征向量为c₁p₁+c₂p₂(c₁，c₂不全为零)；注意到矩阵A的各行元素之和均为3，故矩阵A的属于λ₃＝3的特征向量为c₃p₃＝c₃(1，1，1)^T(c₃≠0)． (2)将p₁，p₂正交化得 β₁＝p₁，β₂＝[*] 再将β₁，β₂，p₃单位化，得 [*] 令 Q＝(q₁，q₂，q₃)＝[*] 则 Q^TAQ＝[*]＝diag(0，0，3)

解析

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量p1＝(﹣1，2，﹣1)T，p2＝(0，﹣1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解，(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角形矩阵A，使得QTAQ＝A．

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