[2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=( )．

admin2021-01-15 39

问题 [2014年]∫_-π^π(x一a₁cosx-b₁sinx)²dx=

{∫_-π^π(x一acosx一bsinx)²dx}，则a₁cosx+b₁sinx=( )．

选项 A、2sinx
B、2cosx
C、2nsinx
D、2πcosz

答案A

解析 ∫_-π^π(x一acosx一bsinx)²dx=∫_-π^π[(x一bsinx)-acosx]²dx
=∫_-π^π[(x—b sinx)²一2a cosx(x—b sinx)+a²cos²x]²dx
=∫_-π^π(x²一2bx sinx+b²sin²x+a²cos²x)dx (注意cosx(x一b sinx)为奇函数)
=2∫₀^π(x²一2bx sinx+b²sin²x+a²cos²x)dz，
因∫₀^πxsinxdx=

，
∫₀^πsin²x dx=

，
故F(a，b)=∫_-π^π(x-a cosx一b sinx)²dx=

π³—4b²π+b³7π+a³π ①
=π(a²+b²一4b)+

π³=π[a²+(b-2)²一4]+

π³．
因而当a=0，b=2时，上述积分值F(a，b)最小．于是
a₁=a=0，b₁=b=2，a₁cosx+b₁sinx=2sinx．仅A入选．[img][/img]

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考研数学一

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