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  3. 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关．问： α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关．问： α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2019-05-10  76
问题 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关．问：
α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
选项
答案不能．证一 用反证法证之．如α4能由α1，α2，α3线性表示，由(1)知α1又可由α2，α3线性表示，故α4能由α2，α3线性表示，这与α2，α3，α4线性无关相矛盾． 证二 由命题2．3．1．2(4)、(5)知，α1，α2，α3线性相关，故秩(α1，α2，α3)≤2，而α2，α3，α4线性无关，秩(α2，α3，α4)=3．因而 秩(α1，α2，α3，α4)≥秩(α2，α3，α4)=3，而秩(α1，α2，α3)≤2， 故 秩(α1，α2，α3，α4)＞秩(α1，α2，α3)， 即 秩(α1，α2，α3，α4)=秩(α1，α2，α3)+1， 因而α4不能由α1，α2，α3线性表出．
解析
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考研数学二

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