设n阶矩阵A的秩为1，试证：存在常数μ，对任意正整数k，使得Ak=μk-1A．

admin2016-07-22 70

问题设n阶矩阵A的秩为1，试证：
存在常数μ，对任意正整数k，使得A^k=μ^k-1A．

选项

答案记α=α_i=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则 A=αβ^T，A^k=(αβ^T)^k=(αβ^T)(αβ^T)…(αβ^T)=α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T．记β^Tα=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=μ，则 A^k=αμ^k-1β^T=μ^k-1A．

解析

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考研数学一

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