设f(x，y)连续，则I＝∫02rdr(rcosθ,rsinθ)dθ＝( )

admin2022-06-09 51

问题设f(x，y)连续，则I＝∫₀²rdr

(rcosθ,rsinθ)dθ＝( )

选项 A、∫₀^π/2dθ∫₀²f(rcosθ，rsinθ)rdr
B、∫₀^π/2dθ∫₀^2sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr
C、∫_-π/2^π/2dθ∫₀^2cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr
D、∫_-π/2^π/2∫₀^2secθf(rcosθ，rsinθ)rdr

答案C

解析由已知，如图所示，有极坐标表示
D＝｛(r，θ)｜0≤r≤2，－arccos r/2≤θ≤arccos r/2｝
对应的直角坐标表示为D＝{(x，y)｜x²＋y²≤2x}
再转化为“先r后θ”的极坐标表示为
D＝{(r，θ)｜－π/2≤θ≤π/2，0≤r≤2cosθ}，
故C正确，本题还可以直接交换积分次序

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