设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明： BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

admin2017-06-14 64

问题设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
B^TAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

选项

答案必要性．A正定，且B^TAB正定，由(1)知，r(B)=r(B^TAB)=n，故r(B)=n．充分性．A正定，r(B)=n，则B^TAB=B^TD^TDB=(DB^T)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，从而B^TAB正定．

解析

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