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(2012年试题,三)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2, (1)求实数α的值; (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
(2012年试题,三)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2, (1)求实数α的值; (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
admin
2021-01-19
92
问题
(2012年试题,三)已知
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2,
(1)求实数α的值;
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
选项
答案
(1)由题,二次型的秩为2,意即矩阵A
T
A的秩也为2,|A
T
A|=0,[*]=(a
2
+3)(a+1)
2
=0,得a=一1(2)将a=一1代入A
T
A中,得[*][*]得A
T
A的特征值λ
1
=0,λ
2
=2,λ
3
=6.分别将特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
代入(A
T
E—A
T
A)X=0,求得对应各自特征值的特征向量为ξ
1
=(1,1,一1)
T
ξ
2
=(1,一1,0)
T
ξ
3
=(1,1,2)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,得[*]则令Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x=(Qy)
T
(A
T
A)(Qy)=y
T
Q
T
A
T
AQy=2y
2
2
+6y
3
2
即为f的标准形.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/pV84777K
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考研数学二
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