(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19 92

问题 (2012年试题，三)已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2，
(1)求实数α的值；
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵A^TA的秩也为2,｜A^TA｜=0，[*]=(a²+3)(a+1)²=0，得a=一1(2)将a=一1代入A^TA中，得[*][*]得A^TA的特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6．分别将特征值λ₁，λ₂，λ₃代入(A^TE—A^TA)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ₁=(1，1，一1)^Tξ₂=(1，一1，0)^Tξ₃=(1，1，2)^T再分别将ξ₁,ξ₂,ξ₃单位化，得[*]则令Q=(η₁，η₂，η₃)，则(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x=(Qy)^T(A^TA)(Qy)=y^TQ^TA^TAQy=2y₂²+6y₃²即为f的标准形．

解析

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考研数学二

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(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

考研数学二

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵。证明(A)T=(AT)*。

设当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。

设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，为样本均值．证明T=是P{X=0}的无偏估计量．

eπ与πe谁大谁小，请给出结论并给予严格的证明(不准用计算器)．

设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．(I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有f(x0)

设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．

向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．

设u=u(x，y)由方程组确定，其中φ(v)，ψ(v)有连续的二阶导数且yφ"(v)+ψ"(v)≠0，求证：

设f=x12+x22+5x32+2a1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是__________。

设函数f(x)处处可导，且0≤f’(x)≤(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{x0}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

有关锐利度和模糊度的叙述，错误的是

胶片未经曝光而显影加工处理后产生的密度称

A．温胆汤B．桑杏汤C．止嗽散D．清气化痰丸E．半夏白术天麻汤患者风邪犯肺，症见咳嗽咽痒，微有恶寒发热，舌苔薄白，脉浮。治疗应选用

A、可待因B、喷他佐辛C、二氢埃托啡D、美沙酮E、吗啡常用的吗啡和海洛因成瘾者脱毒治疗时的替代药物是（　　）。

关于环氧树脂涂料的性能，说法正确的有()。

建筑结构材料中，石灰的技术性质主要包括()。

甲公司2015年度实现净利润3．50万元，流通在外的普通股加权平均数为500万股，优先股100万股，优先股股息为每股1元，如果2015年末普通股的每股市价为20元，则甲公司的市盈率是()。

劳动法律行为应当符合的基本要求是()

WheredidHarryspendhisholiday?

(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

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设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵。证明(A*)T=(AT)*。

设当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。

设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，为样本均值．证明T=是P{X=0}的无偏估计量．

eπ与πe谁大谁小，请给出结论并给予严格的证明(不准用计算器)．

设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．(I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有f(x0)

设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．

向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．

设u=u(x，y)由方程组确定，其中φ(v)，ψ(v)有连续的二阶导数且yφ"(v)+ψ"(v)≠0，求证：

设f=x12+x22+5x32+2a1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是__________。

设函数f(x)处处可导，且0≤f’(x)≤(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{x0}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

有关锐利度和模糊度的叙述，错误的是

胶片未经曝光而显影加工处理后产生的密度称

A．温胆汤B．桑杏汤C．止嗽散D．清气化痰丸E．半夏白术天麻汤患者风邪犯肺，症见咳嗽咽痒，微有恶寒发热，舌苔薄白，脉浮。治疗应选用

A、可待因B、喷他佐辛C、二氢埃托啡D、美沙酮E、吗啡常用的吗啡和海洛因成瘾者脱毒治疗时的替代药物是（ ）。

关于环氧树脂涂料的性能，说法正确的有()。

建筑结构材料中，石灰的技术性质主要包括()。

甲公司2015年度实现净利润3．50万元，流通在外的普通股加权平均数为500万股，优先股100万股，优先股股息为每股1元，如果2015年末普通股的每股市价为20元，则甲公司的市盈率是()。

劳动法律行为应当符合的基本要求是()

WheredidHarryspendhisholiday?

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵。证明(A)T=(AT)*。

A、可待因B、喷他佐辛C、二氢埃托啡D、美沙酮E、吗啡常用的吗啡和海洛因成瘾者脱毒治疗时的替代药物是（　　）。