2. 考研
  3. 过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

admin2019-06-29  88
问题 过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．
选项
答案[*] 设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为 y′0=ex0， 切线方程为 y－y0=ex0(x－x0)． 它经过点(0，0)，所以－y0=－x0ex0．又因y0=ex0，代入求得x0=1， 从而y0=ex0=e，切线方程为y=ex． (Ⅰ)取水平条面积元素，则D的面积 [*] (积分[*]ln ydy为反常积分，[*]yln y=0根据洛必达法则得到) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 dV1=[π(1－lny)2－π(1－[*])2]dy， 从而 V1=[*]dy =π(yln2y－4ylny＋4y＋[*]πe．
解析
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考研数学二

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