设某物体由曲面z=x2+y2和平面z=2x所围成，其上各点的密度ρ等于该点到平面xOz的距离的平方，试求该物体对z轴的转动惯量．

admin2022-07-21 90

问题设某物体由曲面z=x²+y²和平面z=2x所围成，其上各点的密度ρ等于该点到平面xOz的距离的平方，试求该物体对z轴的转动惯量．

选项

答案从z=x²+y²，z=2x中消去z，得到两个曲面的交线L关于xOy的投影柱面方程为x²+y²-2x=0，x≥0．故所求的转动惯量为 [*] 其中D为xOy平面区域(x-1)²+y²≤1，利用柱面坐标计算 I_z=∫_-π/2^π/2dθ∫₀^2cosθrdr[*]r⁴sin²θdz=∫_-π/2^π/2dθ∫₀^2cosθr⁵sin²θ(2rcosθ-r²)dr [*]

解析

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考研数学三

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证明：当x＞0时，ex-1＞(1+x)ln(1+x)．
设φ(x)=∫0x(x-t)2f(t)dt，求φ’’(x)，其中f(x)为连续函数．
在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()．
计算下列二重积分：设f(x，y)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≥2x}．
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设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求(1)中条件成立时的SD1+SD2．
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