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  3. 已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx经正交变换化为y12＋y22－2y32，又A*α＝α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx经正交变换化为y12＋y22－2y32，又A*α＝α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

admin2020-10-30  107
问题 已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx经正交变换化为y12＋y22－2y32，又A*α＝α，其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵，α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．
选项
答案因为二次型f＝xTAx经正交变换化为y12＋y22－2y32，所以矩阵A的特征值分别为1，1，－2，从而｜A｜＝－2，将A*α＝α两端左乘矩阵A，得AA*α＝Aα，由AA*＝｜A｜E，得Aα＝－2α，故α＝(1，1，1)T是矩阵A的特征值－2对应的特征向量． 设矩阵A的特征值1对应的特征向量α1＝(x1，x2，x3)T，因为A是对称矩阵，所以αTα1＝x1＋x2＋x3＝0，取α11＝(－1，－1，2)T，α12＝(1，－1，0)T，则α11，α12是矩阵A的特征值1对应的特征向量，且正交． 将α11，α12，α单位化，得 [*] 取P＝(β1，β2，β2)＝[*]，则P是正交矩阵，且[*] 所以[*] 故二次型的表达式为f＝xTAx＝－2x1x2－2x1x3－2x2x3．
解析
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考研数学三

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