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设α1，…，αm，β为m＋1个n维向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β－α1，…，β－αm线性无关．
设α1，…，αm，β为m＋1个n维向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β－α1，…，β－αm线性无关．
admin
2018-05-17
56
问题
设α
1
，…，α
m
，β为m＋1个n维向量，β＝α
1
＋…＋α
m
(m＞1)．证明：若α
1
，…，α
m
线性无关，则β－α
1
，…，β－α
m
线性无关．
选项
答案
令k
1
(β－α
1
)＋…k
m
(β－α
m
)＝0，即 k
1
(α
2
＋α
3
＋…＋α
m
)＋…＋k
m
(α
1
＋α
2
…＋α
m-1
)＝0或 (k
2
＋k
3
＋…＋k
m
)α
1
＋(k
1
＋k
3
＋…＋k
m
)α
2
＋…＋(k
1
＋k
2
＋…＋k
m-1
)α
m
＝0， 因为α
1
，α
m
线性无关，所以[*] 因为[*]＝(－1)
m-1
(m－1)≠0，所以k
1
＝…＝k
m
＝0，故β－α
1
，…，β－α
m
线性无关．
解析
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考研数学二
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