(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

admin2013-12-18 99

问题 (2006年试题，22)已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

选项

答案(I)用线性相关性判断秩的方法．依题意，设α₁，α₂，α₃，是非齐次方程组的3个线性无关的解，则α₁一α₂,α₁－α₃是Ax=0线性无关的解．所以n—rA≥2，即rA≤2又矩阵A中有二阶子式不为0，于是rA≥2．所以秩rA=2．(Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换，有[*]由rA=r([*])=2(已证)→a=2，b=一3又α=(2，一3，0，0)^T是原方程组的解，η₁=(一2，1，1，0)^T，η₂=(4，一5，0，1)是Ax=0的基础解系，所以原方程组的通解是[*](k₁，k₂为任意常数)

解析本题考查了解线性方程组的方法，矩阵的秩和基础解系等知识点，解非齐次线性方程组，一般转化为增广矩阵的秩的问题进行求解，若rA≠r(

)，则非齐次线性方程组无解；若rA=r(

)=n，则非齐次线性方程组有唯一解；若rA=r(

)

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考研数学二

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(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

考研数学二

设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=__________。

(02年)设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，A的秩r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当志为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

[2009年]计算不定积分

(1991年)求极限其中n为给定的自然数．

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

[2006年]设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

(2014年)设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a,b](Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx。

(2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。(I)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线y=ax所围平面图形的面积为时，确定a的值。

不属于子宫肌瘤临床表现的是

根据《关于建立国家基本药物制度的实施意见》，基本药物是指()。

患者男，50岁，高血压。近来感觉头痛、头晕、恶心，需要密切观察血压，测量血压不需要

若标准贯入锤击数N＝20，则砂土的密实度等级为()。

按利率的()，可将利率分为官方利率、公定利率与市场利率。

税收的收入效应取决于(　　)。

下列体现我国民族精神核心的是()。①先天下之忧而忧，后天下之乐而乐②己所不欲，勿施于人③天下兴亡，匹夫有责④不积小流，无以成江海

当劳动教养人员在接受心理矫治过程中产生阻抗心理，劳动教养人民警察应()。

下列不属于人民警察依照国家规定可以使用武器的情况是()。

(2006年试题，22)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

考研数学二

设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=__________。

(02年)设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，A的秩r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当志为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

[2009年]计算不定积分

(1991年)求极限其中n为给定的自然数．

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

[2006年]设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

(2014年)设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a,b](Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx。

(2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。(I)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线y=ax所围平面图形的面积为时，确定a的值。

不属于子宫肌瘤临床表现的是

根据《关于建立国家基本药物制度的实施意见》，基本药物是指()。

患者男，50岁，高血压。近来感觉头痛、头晕、恶心，需要密切观察血压，测量血压不需要

若标准贯入锤击数N＝20，则砂土的密实度等级为()。

按利率的()，可将利率分为官方利率、公定利率与市场利率。

税收的收入效应取决于( )。

下列体现我国民族精神核心的是()。①先天下之忧而忧，后天下之乐而乐②己所不欲，勿施于人③天下兴亡，匹夫有责④不积小流，无以成江海

当劳动教养人员在接受心理矫治过程中产生阻抗心理，劳动教养人民警察应()。

下列不属于人民警察依照国家规定可以使用武器的情况是()。

税收的收入效应取决于(　　)。