(90年)已知线性方程组 (1)a，b为何值时，方程组有解? (2)在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解．

admin2021-01-25 98

问题 (90年)已知线性方程组

(1)a，b为何值时，方程组有解?
(2)在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解．

选项

答案对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换： [*] (1)由阶梯形矩阵可见r(A)＝2，故当且仅当r(A)＝2时方程组有解，即当b－3a＝0，2－2a＝0，亦即a＝1，b＝3时方程组有解． (2)当a＝1，b＝3时，有 [*] 由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令χ₃＝χ₄＝χ₅＝0，得原方程组的一个特解为 η^*＝(－2，3，0，0，O)^T 在(*)式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为 [*] 由此即得导出组的一个基础解系为 ξ₁＝(1，－2，1，0，0)^T，ξ₂＝(1，－2，0，1，0)^T，ξ₃＝(5，－6，0，0，1)^T 所以，原方程组的全部解(其中χ＝(χ₁，χ₂，χ₃，χ₄，χ₅)^T)为 χ＝η^*＋k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋k₃ξ₃(k₁，k₂，k₃为任意常数)

解析

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考研数学三

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