2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0，﹢∞)内可导，f(x)﹥0， f(π/2)＝x∈(0，﹢∞)。求： (Ⅰ)f(x)； (Ⅱ)定义数列xn＝0nπf(t)dt，证明数列{xn}收敛。

设函数f(x)在(0，﹢∞)内可导，f(x)﹥0， f(π/2)＝x∈(0，﹢∞)。求： (Ⅰ)f(x)； (Ⅱ)定义数列xn＝0nπf(t)dt，证明数列{xn}收敛。

admin2019-12-06  100
问题 设函数f(x)在(0，﹢∞)内可导，f(x)﹥0，
f(π/2)＝x∈(0，﹢∞)。求：
(Ⅰ)f(x)；
(Ⅱ)定义数列xn＝0nπf(t)dt，证明数列{xn}收敛。
选项
答案(Ⅰ)题设等式左端的极限为1∞型，故 [*] 则[*]， 把sinx移到右边，两边同时积分得f(x)＝[*]，x∈(0，﹢∞)。由[*]得C＝4。 综上[*]。 (Ⅱ)由题意得xn＝[*]，记F(x)＝[*]﹥0(x≠nπ)， →F(x)在(0，﹢∞)单调递增，故xn＝F(nπ)是单调递增。 又0﹤xn＝[*]， 而[*]﹤4，于是xn有界。因此，{xn}单调有界必收敛。
解析
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考研数学二

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