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[2001年] 设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不唯一．试求： 正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2021-01-25  54
问题 [2001年]  设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不唯一．试求：
正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
选项
答案由[*]知，A的特征值为λ1=0，λ2=3，λ3=－3． 对于λ1=0，解方程组(0E－A)X=0，即AX=0．由[*]得对应的特征向量为α1=[1，1，1]T，单位化得[*] 对于λ2=3，解方程组(3E－A)X=0，由[*]得对应的特征向量为α2=[1，0，－1]T，单位化得对应的单位特征向量为[*] 对于λ3=－3，解方程组(－3E－A)X=0，由[*]得对应的特征向量为α3=[1，－2，1]T，单位化得对应的单位特征向量为[*]因为当a=一2时，A的特征值都是单重特征值，故α1，α2，α3必两两正交．因而所求的正交矩阵为 [*]
解析
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考研数学三

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