2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0． (1)求f(x)；(2)证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．

设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0． (1)求f(x)；(2)证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．

admin2018-05-25  65
问题 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．
(1)求f(x)；(2)证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．
选项
答案(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f’’(x)=－(x+2)f’(x)=> [*] 再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是 [*] (2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1． 令g(x)=f(x)－e－x．g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=[*] 由 [*] =>g(x)≥0=>f(x)≥e－x(x≥0)．
解析
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考研数学三

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